teori kemungkinan

Teori probabilitas atau peluang merupakan teori dasar dalam pengambilan keputusan yang memiliki sifat ketidakpastian.

Ada 3 pendekatan :

• Pendekatan klasik
• Pendekatan empiris
• Pendekatan subyektif

PENDEKATAN KLASIK

Apabila suatu peristiwa (Event) E dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka probabilitas peristiwa E ata P(E) dapat dirumuskan :

                                    P(E) = h

                                                n

 

misalnya:Bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama , yaitu 0,5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. P(A) = P(B) = 0,5

PENDEKATAN EMPIRIS

Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan empiris adalah atas dasar pengertian frekuensi relatif. Pendekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan. Dalam kenyataan , syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi.

            Suatu peristiwa E mempunyai h kejadian dari serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, maka peluang E merupakan frekuensi relatif h/n , dinyatakan sebagai :

 

                        P (E) = lim  h

                                            n

 

untuk n mendekati nilai tak terhingga.

PENDEKATAN SUBYEKTIF

            Pada pendekatan subyektif, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang berbeda terhadap terjadinya suatu peristiwa, meskipun informasi yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. Hal tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dam mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama.

Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut :

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak)

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1   0 ≤ P (E) ≤ 1

Artinya :

Jika P= 0 disebut probabilitas kemustahilan artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi

Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian , artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi

Jika 0< P< 1, disebut probabilitas kemungkinan , artinya kejadian atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P (E)  maka besarnya probabilitas

bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah :

 

                  P (E) = 1 – P (E)

 

PROBABILITAS BEBERAPA PERISTIWA

Peristiwa saling lepas (mutually exclusive)

Dua peritiwa merupakan peristiwa yang Mutually Eclusive jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. Peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, peristiwa saling asing.

Jika peristiwa A danb B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

 

P ( A U B) = P (A) + P (B)

 

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah :

A = peristiwa mata dadu 2 muncul

B = mata dadu lebih dari 4 muncul

Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B) :

P (A) = 1   dan P (B) = 2

             6                        6

 P ( A U B )  =   1   +   2   =   3

                          6        6         6

Peristiwa Non Ecxclusive ( tidak saling lepas)

Dua peristiwa dikatakan non exclusive  , bila dua peristiwa tidak saling lepas atau kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi bersamaan

Dirumuskan sbb :

	P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

 

Contoh :

Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya adalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ?

Dimisalkan : A = kartu Ace

                      D = kartu Diamont

Maka  P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

                          =  4    +   13   -   1

                              52         52      52

                         =    16

                                52

                       

Jika terdapat  3 peristiwa dirumuskan sebagai berikut :

 

P (AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B)- P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

 

Peristiwa Independent (Bebas)

Peristiwa terjadi atau tidak terjadi tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi peristiwa lainnya.

Apabila A dab B dua peristiwa yang Independent, maka probabilitas bahwa keduanya akan terjadi bersama-sama dirumuskan sebagai berikut :

P (A∩B) = P(A) x P(B)

 

Contoh :

Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam :

1. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1
2. empat kali pengambilan terdapat bagus 1

jawab :

dimisalkan  A = bagus

                    B = rusak

Maka  P(A)  = 0,70    P(B) = 0,30

a.  K³ =  3

        ¹           

   =  P(A ∩A∩B) U P(A ∩B∩A) P(B ∩A∩A)

   =  0,70 x 0,70 x 0,30  atau 0,70 x 0,30 x 0,70 atau 0,30 x 0,70 x 0,70

   =  0,147  + 0,147 + 0,147 = 0,441

Peristiwa  dependent ( Bersyarat)

Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain.

Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb :

P( B/A)

Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb :

 

    P(A∩B) = P(A) x P(B/A)

 

Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulid sbb :

P (A/B)

Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb :

	P (A∩B) = P(B) x P(A/B)

 

Contoh :

Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa :

1. Keduanya bola putih
2. Keduanya bola hitam
3. Satu bola putih dan satu bola hitam

Jawab

Misalnya A₁ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A₂ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka :

P(A₁ ∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁) = 4/6 X 3/8 = 1/4

Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilny7a bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka :

P(A₁∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁)   = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24

Probabilitas yang dimaksud adalah :

P(A₁∩B₂) U P(B₁∩A₂) 

Harapan Matematis

Jika P1, P2…..Pk merupakan probabilitas terjadinya peristiwa maka E1, E2 …….Ek dan andaikan V1, V2…….Vk adalah nilai yang diperoleh jika masing-masing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah :

 

E(V) = P1 V1 + P2V2 + ………Pk Vk

 

Contoh :

Dalam suatu permainan berhadiah, pihak penyelenggara akan membayar Rp. 180.000,- apabila pemain mendapat kartu Ace, dan akan membayar Rp. 100.000,- apabila mendapoatkan kartu King dari setumpuk kartu bridge yang berisi 52 kartu. Bila tidak mendapatkan kartu ace dan kartu King pemain harus membayar Rp. 45.000,- . berapa harapan matematis pemain tersebut ?

Jawab

E (V)  =  Rp. 180.000 ( 4/52) + 100.000 (4/52) – 45.000 (44/52)

           =  Rp.    16.538,46  =  Rp. 16.500,-